Me puse manos a la obra buscando la solución al problema, y di con ella. Y he considerado crear esta entrada para que pueda resultar util a otros.
En primer lugar, en Internet Explorer, nos dirigimos al menú Herramientas->Opciones de internet y dentro del cuadro de dialogo, seleccionamos Opciones avanzadas. Una vez alli, desactivamos las opciones Deshabilitar la depuración de scripts (Internet Explorer) y Deshabilitar la depuración de scripts (otros). Aplicamos los cambios y aceptamos.
Posteriormente abrimos el editor de registro de Windows (regedit.exe) y nos dirigimos hasta HKEY_LOCALMACHINE->SOFTWARE->Microsoft-Internet Explorer->Main. Allí nos dirigimos al menú Edición->Nuevo->Valor DWORD y le damos el nombre TabProcGrowth y la asignamos el valor 0.
Ya podemos depurar nuestras aplicaciones web con normalidad.